什么是逻辑常项？什么是非逻辑常项？请举例说明。
逻辑常项就是命题联结词和量词、模态算子，具有普遍意义的；非逻辑常项就是命题变元、个体变元、谓词等。逻辑常项指的推理形式中保持不变的或者形成结构的，非逻辑常项就是逻辑变项，即可以被替换和变化的部分。
逻辑常项(logic constant)也叫逻辑常元，比如推理结构中的逻辑联结词“如果……那么“、”非“和量词”有些“、”任意“，体现推理的结构，显示逻辑的特征。命题中恒定不变的部分，所有M是P，所有M是S，所有S是P。词项变元如sp ，p所以q，那么pq都是命题变元，替换的是命题。逻辑变元比如pq可以变，可以代入不同的东西。
什么是对象语言？什么是元语言？请举例说明。
当我们研究一个形式系统时，这个系统使用的形式语言就成为我们的研究对象，被称为对象语言，而我们针对这个形式系统进行描述和说明所使用的是另一种语言，即被用来辅助理解对象语言的语言，被称为元语言。对象语言清楚，无歧义；元语言除了使用自然语言，也使用一些符号，但是我们可以使用一些与对象语言不同的符号，从而对对象语言和元语言得到明确的区别。对象语言有初始符号，包括命题符号、命题连接词、括号等；元定理是“命题符号”、形成规则比如”1）x1是一个项，其中i≥1。“之类
什么是内定理？什么是元定理？请举例说明。
内定理就是对象语言所表达的定理，即用形式语言表示的系统内部的由命题演算和谓词演算构成的形式系统，比如预先假定的解释和句子真假情况的说明，都是语义方面对其进行的具有必然性的说明；元定理就是描述和刻画形式系统的性质或者形式系统中那些逻辑规律的性质的定理，比如可靠性定理和完全性定理、一致性、公理的独立性。定理是由公理出发而推导出来的。例如：内定理：
公理：
A→A
变形规则：
分离规则：⊦A→B，⊦A，⇒⊦B
概括规则：⊦A，⇒⊦∀xA
元定理：
一阶逻辑的可靠性定理：一个一阶逻辑系统是可靠的，如果其中得出的所有公式都是有效的，应用该系统所给出的公理和推理规则，从有效的前提一定得出有效的结论。（一阶逻辑的公式都是有效的）
一阶逻辑的完全性定理：一个一阶逻辑系统是完全的，如果一个公式是有效的，那么他就是在这个系统中可以得出来的。（凡是有效的公式都是在一阶逻辑系统中可以得出来的）
系统的一致性与公式集的一致性有何不同？
系统的一致性是指，不存在一个公式及其否定都是该系统的定理。公式集的一致性是，当且仅当存在一组赋值使得公式集中的所有公式可以同时为真。
一致性的意义是相对于自然语言的歧义性而被在逻辑学中赋予的，所以在系统外的数学模型中，不会有两个互为否定的命题同时成立，我们会认为这是矛盾的。但在命题逻辑推演系统中，一个公式集若能推出某个命题和它的否定，那么这个公式集便能推出所有公式。
如果公理集可以证明它永远不会产生矛盾，那么这意味着存在根据这些公理构建的一系列公式，证明了这个含义为“这组公理是一致的”的元数学公式。由第一定理，这个公理集必然是不完备的。系统P的一致性是指不存在公式A及其否定都是该系统的定理。公式集Г是一致的，当且仅当存在一组赋值使得公式集中的所有可以同时为真。
一阶逻辑的一致性定理内容是什么？
一阶逻辑的完全性定理内容是什么？
一阶逻辑的完全性定理：一个一阶逻辑系统是完全的，如果一个公式是有效的，那么他就是在这个系统中可以得出来的（凡是有效的公式都是在一阶逻辑系统中可以得出来的）如果语义推出A，则语法推出A。凡是有效的公式一定可以在一阶逻辑系统从公理出发必然推出。
一阶逻辑的可靠性定理内容是什么？
一阶逻辑的可靠性定理：一个一阶逻辑系统是可靠的，如果其中得出的所有公式都是有效的，应用该系统所给出的公理和推理规则，从有效的前提一定得出有效的结论（一阶逻辑的公式都是有效的）
一阶逻辑系统的公式（推出的内定理）都是有效的：如果语法推出A，则语义推出A。
比如重言式/永真式的真值不取决于内部的东西是是有效式、都是重言式。
如何理解现代逻辑与亚里士多德逻辑一脉相承？
亚里士多德提出逻辑在于必然地得出，揭示了逻辑这门学科的内在机制。但他并没有具体地对其说明，尽管在三段论使我们对其有了一定的体会。而现代逻辑的发展则从句法和语义两个方面的相互联系来认识推理的特征和性质。可靠性定理和完全性定理体现了这两个方面的相互联系的元逻辑的研究，也从这两个方面的相互联系刻画和揭示了逻辑的性质即必然地得出，这一点上，和亚里士多德关于推理的刻画在基本精神方面是一脉相承的。